Binärsystem

Das binäre Zahlensystem

Binärzahlen in Dezimalzahlen umwandeln

Übungen Binärzahlen in Dezimalzahlen umwandeln

1. 0010 0111
2. 1111 1111
3. 1101 1010
4. 0011 0111
5. 1111 0100

Lösungen Binärzahlen in Dezimalzahlen umwandeln

1. 0010 0111 = 39
2. 1111 1111 = 255
3. 1101 1010 = 218
4. 0011 0111 = 55
5. 1111 0100 = 244

Dezimalzahlen in Binärzahlen umwandeln

Übungen Dezimalzahlen in Binärzahlen umwandeln

1. 37
2. 127
3. 90
4. 166
5. 200

Lösungen Dezimalzahlen in Binärzahlen umwandeln

1. 37 = 0010 0101
2. 127 = 0111 1111
3. 90 = 0101 1010
4. 166 = 1010 0110
5. 200 = 1100 1000

Mit Binärzahlen rechnen

Binärzahlen können addiert, subtrahiert, multipliziert und dividert werden.
Dabei geht man genauso vor, wie beim Rechnen mit Dezimalzahlen.

Negative Binärzahlen

Aufgabe: Entwirf ein Binärsystem, mit dem auch negative Zahlen dargestellt werden können.

Erste Idee: Vorzeichen-Bit

Erstes Bit einer Zahl fester Bitlänge gibt das Vorzeichen an (0=+ und 1=-). Die restlichen Bits geben den Betrag an.
Beispiel:

Nachteile eines Vorzeichen-Bits

1. Problem: Zwei Zahlen für die 0.
2. Problem: Addition negativer Zahlen mit positiver Zahlen (Subtraktion) funktioniert nicht:
   \begin{aligned} &0010\\ +&1010\\ \hline &1100 \hat{=}-4\text{, statt } 0 \end{aligned}

Zweite Idee: Einerkomplement

• Feste Bitlänge
• Positive Zahlen haben eine 0 als erstes Bit und werden wie vorzeichenlose Zahlen gebildet
• Negative Zahlen haben eine 1 als erstes Bit und werden gebildet, indem ihre Gegenzahl bitweise invertiert wird

Zweite Idee: Einerkomplement

Vorteil des Einerkomplements

Subtraktion funktioniert:

\begin{alignedat}{2} &0010\hat{=}2&\qquad &0101\hat{=}5\\ +&1101\hat{=}-2& +&1000\hat{=}-7\\ &\overline{1111\hat{=}0}& &\overline{1101\hat{=}-2} \end{alignedat}

Nachteile des Einerkomplements

1. Problem: Zwei Zahlen für die Null
2. Problem: Wird die Null durchschritten, muss der Überlauf zum Ergebnis hinzuaddiert werden:

\begin{alignedat}{2} &1011\hat{=}-4\\ +&0110\hat{=}6\\ &\overline{0001\hat{=}1}\quad\text{falsch, Übertrag muss addiert werden}\\ +&0001\\ &\overline{0010\hat{=}2} \end{alignedat}

Dritte Idee: Zweierkomplement

• Positive Zahlen haben eine 0 als erstes Bit und werden wie vorzeichenlose Zahlen gebildet
• Negative Zahlen haben eine 1 als erstes Bit und ergeben sich aus der bitweisen Invertierung und anschließender Addition der 1 (Überlauf wird ignoriert)

Dritte Idee: Zweierkomplement

Vorteile des Zweierkomplement

• Nur eine Zahl für die 0
• Subtraktion funktioniert auch ohne den Überlauf auszuwerten

Hinweise zum Zweierkomplement

• Bitlänge ist vorher festgelegt
• Ergebnisse müssen durch die Bitlänge darstellbar sein
• Betragsmäßiger Zahlenbereich ist kleiner als bei vorzeichenlosen Zahlen (z.B. -8 bis +7 statt 0 bis 15)

Hexadezimalzahlen

• Hexadezimalzahlen haben 16 Symbole zur Darstellung einer Ziffer (0-9, A-F)
• n Stellen können im Hexadezimalsystem somit 16^n Zahlen darstellen
• Vier Stellen einer Binärzahl (2^4) ergeben genau eine Stelle einer Hexadezimalzahl (16^1)
• Binärzahlen können dadurch in Viererblöcken leicht in Hexadezimalzahlen umgewandelt werden
• Vorteil: Hexadezimalzahlen sind deutlich lesbarer als Binärzahlen

Hexadezimalzahlen in Binärzahlen

1101111110000101\hat{=}DF85\hat{=}13\cdot 16^3+15\cdot 16^2+8\cdot 16^1+5\cdot 16^0=57221

Übungen Hexadezimalzahlen

1. Gib die folgenden Hexadezimalzahlen als Binär- und Dezimalzahlen an: a) E9A7 b) 6BC4
2. Gib die folgende Binärzahl als Hexadezimalzahl an:
   1101 0010 1010 0101

Lösungen Hexadezimalzahlen

1.a) 1110 1001 1010 0111
b) 0110 1011 1100 0100
2. D2A5